Widerspruchsfreiheit

Durch Kommentare von Jörg und Roderich ist mir aufgefallen, dass ich den Begriff “abgeschlossenes System” bisher unbewusst mehrdeutig verwendet habe, und möchte daher an dieser Stelle meine Begriffsverwendung für mich und meine Leser präzisieren. Auf Wikipedia liest man über den in der Physik verwendeten Begriff:

Als abgeschlossenes System wird ein System ohne Wechselwirkung mit seiner Umgebung bezeichnet.

Diese Definition war sicherlich assoziativ in meiner Verwendung enthalten, trifft aber eigentlich nicht den Kern dessen, was ich aussagen wollte. Ich möchte deshalb die assoziative (≠ deduktive) Beladung dieses Begriffs vermeiden, um eine höhere Präzision zu erreichen und den Kern meiner Aussage besser herausstellen zu können. Der Kern dessen, was ich meinte, ist nicht Abgeschlossenheit, sondern Widerspruchsfreiheit:

Eine Menge von Aussagen wird als konsistent oder widerspruchsfrei bezeichnet, wenn aus ihr kein Widerspruch abgeleitet werden kann.

Widerspruchsfreiheit eines Systems scheint auf den ersten Blick nicht viel mit Abgeschlossenheit zu tun zu haben, aber es gibt einige interessante direkte Schlussfolgerungen aus der Definition:

  1. Ein widerspruchsfreies System muss formal sein, weil sonst die Widerspruchsfreiheit nicht zweifelsfrei überprüft werden kann. In nicht-formalen Systemen (wie z.B. das der natürlichen Sprache), ist aufgrund von Begriffsunschärfen eine eindeutige Deduktion aber nicht möglich. Man nehme aus der Menge aller in deutscher Sprache ausdrückbarer Aussagen folgende zwei Aussagen:
    (a) Ein Schimmel ist ein Pferd.
    (b) Ein Schimmel ist ein Klavier.
    Ein Pferd ist aber kein Klavier, und damit ist die strikte Widerspruchsfreiheit widerlegt.1
  2. Das System darf nur abzählbar unendlich sein, denn ansonsten gäbe es keine Möglichkeit, die Menge der Aussagen systematisch abzulaufen, um sie einer Prüfung auf Widerspruchsfreiheit zu unterziehen. Die Abzählbarkeit folgt auch daraus, dass es sich um ein formales System handelt.
  3. Ein widerspruchsfreies formales System ist nach Gödels Unvollständigkeitssatz unvollständig: Es kann sich selbst weder beweisen noch widerlegen.
  4. Zwei widerspruchsfreie formale Systeme, die nicht identisch sind, können nicht direkt in Beziehung miteinander treten, weil jede Aussage, die aus einem System selbst nicht deduktiv abgeleitet werden kann, ein neues Axiom (eine neue Grundvoraussetzung) darstellt, und damit alle bisher im System bekannten abgeleiteten Aussagen über den Haufen werfen würde, wenn es nicht sogar mit anderen unverrückbaren Axiomen im Widerspruch steht.2
  5. Zwei widerspruchsfreie formale Systeme, die nicht identisch sind, können nur durch ein mächtigeres System, das die beiden umfasst und vereinheitlicht, zusammengeführt werden.

In der Praxis erscheinen widerspruchsfreie Systeme also solange als abgeschlossen (keinerlei Austausch mit der Umwelt), solange sie nicht in einem äußeren, mächtigeren System eingebettet sind, über das sie mit den anderen widerspruchsfreien Systemen kommunizieren können.


Fußnoten:

  1. In nicht-formalen Systemen kann daher nie ein positiver Beweis geführt werden, weil aufgrund der Unschärfen nicht zweifelsfrei überprüft werden kann, ob nicht durch den Beweis irgendwo im System ein Widerspruch entsteht. Es kann nur widerlegt werden, weil dazu im einfachsten Fall zwei Aussagen ausreichen, um das gesamte System zu widerlegen. Daher ist Poppers Falsifikationismus eine Notwendigkeit. Mehr dazu bei einer ausführlichen Betrachtung des Verhältnisses zwischen formalen und nicht-formalen Sprachen.
  2. Das zeigt die Grenzen von Poppers Wissenschaftsmethodik auf, weil unterschiedliche Theorien, die das selbe Phänomen erklären, sich gegenseitig widerlegen müssen und daher vermutlich immer die etabliertere Theorie überleben wird.
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16 Antworten auf Widerspruchsfreiheit

  1. Pingback: Reflexion | Sein und Nicht-Sein

  2. @immanuel: krabat muß hier mal widerspruch einlegen:
    wenn krabat es recht versteht, versuchst du deine liebe zu den zahlen mit deinem religiösen gefühl, deiner erziehung zu versöhnen. du versuchst zu diesem zweck, das, nicht in zahlen fassbare, lebendige im mathematischen begriff der “überabzählbaren unendlichkeit” zu begreifen.
    hoffst du, daß das zählen der knochen tote lebendig machen könnte?
    das zählen der leberflecken der liebsten kann ein schönes spiel sein – aber nur, wenn es vorwand zum liebkosen bleibt. wird es selbstzweck, weil mann meint die liebste in der zahl ihrer leberflecken “zu haben”, wird es zu psychopathologischem symptom.
    was heißt überhaupt zählen? zählen heißt den dingen und wesen ihre qualität, ihr eigensein und ihren eigensinn zu nehmen, sie zu quantitäten, zu ab-zählbarkeiten zu machen, die ihre qualität, ihren wert von dem erhalten, der sie in eine reihe stellt – fahnenapell mit gleichschritt und marschlied.
    zählen ist eine form des herrschens, der zählende schafft, freilich zunächst nur gedanklich, (s)eine ordnung, der sich die gezählten dinge und wesen nun beugen müssen. sonst “zählen sie nichts”, man kann sonst nicht “mit ihnen rechnen”, sie sind sonst nur störung der ordnung, vogelfrei dem belieben dessen der zählt ausgeliefert.
    du möchtes hamlets frage die schärfe nehmen mit deinem UND. aber hamlets frage ist eine entscheidungsfrage, ist die frage nach der entscheidung für leben ODER tod. eine solche frage kann durch kein und der welt umgangen werden. der ENTSCHIEDENE christ (der erst als enschiedener diesen namen verdient) aber kann das dilemma des entweder oder lösen: weil er sich für das leben entschieden hat kann er den tod bruder nennen und willkommen heißen. tot ist, wer nicht gelebt hat!
    dem lebendigen ich gegenüber steht nie ein nicht-ich, sonder ein auch-ich, ein DU.

    die welt sind
    du ich und
    was wir einander geben

    wort und antwort
    rede und gegenrede
    spruch und widerspruch

    die perioden der zeit
    vollzug des lebens
    im dialog

    wem niemand mehr widerspricht, der ist tot!

    in diesem sinne:
    gelebt und gestorben bruder

  3. Immanuel sagt:

    Hallo Krabat! Würde es dir etwas ausmachen, mir deinen richtigen Namen zu verraten? Ich tausche mich am liebsten mit Menschen aus, und so würde ich mich zumindest sicherer fühlen, nicht durch einen Turing-Test verhohnepiepelt zu werden (à la “Versteckte Kamera”).

    Habe ich mich so missverständlich ausgedrückt? Dabei meine ich mir doch einige Mühe gegeben zu haben …

    Die Überabzählbarkeit fasziniert mich, weil sie den Herren der Zahlenringe, die Gutes und Böses erkannt haben, ihre Zahlenringe zu entreißen vermag. Deshalb halte ich mich an Albert Einstein:

    Nicht alles was zählt, kann gezählt werden, und nicht alles was gezählt werden kann, zählt!

    In diesem Sinne danke ich dir für deinen Widerspruch, der mich am Leben erhält.

  4. Immanuel sagt:

    Ach ja, und noch etwas: Für mich ist die einfachste und auch meistens unterhaltsamste Form des Zählens übrigens das Erzählen.

  5. Jörg sagt:

    Woher stammen die Axiome eines solchen Systems? Ich würde sagen: von außerhalb des Systems, von etwas (meinetwegen: einem Meta-System), das der ontologischen Ebene, der Wirklichkeit, näher ist als das System selbst. Damit wäre die Verbindung zur “Außenwelt” (ob schon die wirkliche oder noch eine virtuelle) schon in einem solchen System angelegt, oder? Und um mich zu wiederholen: diese Systeme betreffen nur den Bereich der rationalen Rekonstruktion, der letztlich relevante Bereich aber ist die Wirklichkeit. Was nötig ist, ist kein neues, formales, Meta-System sondern die Erdung der Prämissen in der Wirklichkeit.

    Dein Beispiel der fehlenden Widerspruchsfreiheit von natürlichen Sprachen beruht auf einer Verkürzung dessen, was natürliche Sprache ist und wie sie funktioniert. In natürlichen Sprachen treten Propositionen (Sätze, Aussagen) nie isoliert auf sondern immer nur im Kontext und im Kontext ist vom Sender immer markierbar (und gewöhnlich markiert), welche Bedeutung und welcher Referent mit einer bestimmten Zeichenkette vom Empfänger zu verbinden ist. Nur, weil sonst Sprache nicht funktionieren würde, wird von bestimmten Informationen insofern abstrahiert, als dass sie nicht explizit sondern “nur” implizit transportiert werden. Da es aber keinen wesensmäßigen Unterschied zwischen dieser expliziten und impliziten Information hinsichtlich des kommunikationsgeschehens gibt, müsste auch die implizite Information bei Beispielen wie den von dir zitierten angegeben werden, dh: Ein Schimmel-I ist ein Klavier, Ein Schimmel-II ist ein Pferd, Ein Schimmel-III ist ein Parasit usw. Eine Zeichenkette in natürlichen Propositionen ist eine Variable. Die Bezeichnung einer Variablen ist frei wählbar, aber wenn mehrere “Formeln” azs ihren ursprünglichen Kontexten gerissen und zusammengenommen werden, ist es die Aufgabe des Reflektierenden, nur identische Variablen gleich zu bezeichnen und alle anderen gegebenenfalls neu zu bezeichnen. Tut er es nicht und daraus entspringen Fehler, ist es ein Fehler des Reflektierenden. Folglich ist deinem Beispiel die Grundlage entzogen

  6. @Immanuel: du fragst nach krabats „richtigem“ namen. aber was ist ein name? ein name ist ein verweis, ein zeiger oder, wie du als informatiker wohl sagen würdest, ein pointer, der es uns ermöglicht auf etwas zu verweisen, was aktuell nicht da sein muß. worauf also verweist dich der name „krabat slalom“? zunächst auf eine website gleichen namens, auf der krabat einigen aspekten des lebens nachsinnt. dort wiederum wird verwiesen auf ein buch, daß den zur zeit wohl umfassensten überblick über krabats leben gibt und das durchaus für den interessierten zu erwerben ist. wenn du aber meinst, krabats „richtiger“ name wäre der, mit dem das finanzamt den anschreibt, der hier krabats „host“ ist, der ihm hier die finger auf der tastatur leiht, so dürfte es für dich nicht schwer sein ihn herauszufinden. krabats „richtiger“ name aber ist, daß mag für einige überraschend sein, doch einfach: krabat.

    das erzählen hat nun übrigens tatsächlich etwas mit dem zählen, mit dem ordnung schaffen, etwas in eine reihe bringen zu tun. das niederdeutsch/englische „tell“ ist zb identisch mit dem deutschen „zähl“.
    so bleibt denn krabat zunächst zurück, in erwartung deiner erzählungen (mehrzahl!!)

    gelebt und gestorben bruder

  7. Ich denke, wenn man einen Begriff von Widerspruchsfreiheit hat, der genau auf abgeschlossene Systeme passt, dann darf man sich nicht wundern, dass genau abgeschlossene Systeme widerspruchsfrei sind.

    Logische Richtigkeit ist nicht Wahrheit, Widerspruchsfreiheit ist nicht nur logisch zu erfassen.

    @Krabat: Was ich dir schon länger sagen wollte, was aber bisher nicht passte, weil du bisher nicht so explizit die Kunstfigur Krabat Slalom mit dem Krabat, den man in Brezans Buch kennenlernen kann, identifiziert hast: Du bist nicht Krabat. Du bist der Jakub Kuschk.

  8. krabat slalom sagt:

    @herr fridrich: manchmal mit , manchmal ohne jakub kuschk, den trompeter, den müller, wandert krabat durch die welt und manch einer kann uns nicht unterscheiden. dabei ist es ganz einfach: der mit dem wanderstab ist krabat, der mit der trompete ist sein bruder jakub kuschk. was uns noch unterscheidet ist, das jakub nie, weder bevor, noch nachdem er evas rippen gezählt hatte, der illusion aufgesessen war, die welt im kopf wäre die tür zum land glücksland. ganz im gegensatz zu krabat. doch er hat es krabat nie zum vorwurf gemacht, trotz der vielen verwicklungen die sich daraus ergaben. das lässt ihn oft als den vernünftigeren erscheinen – außer der “bratenduft” vernebelt ihm die sicht.
    im übrigen gilt: solange ich smjala, das mädchen reine freude, das geschöpf meiner ersten sehnsucht, suche, bin ich: krabat.

    @immanuel: bist du ein kleiner bruder harry potters, daß du den herren ihre ringe entreissen mußt? weißt du nicht, daß die wahrheit, die sie in ihren ringen gefangen halten wollten, dort nie gefangen war? daß die macht dieser ringe nicht aus den ringen, sondern aus dem glauben der menschen an ihre macht kommt? und wer glaubt mehr an diese macht, als der, der dagegen kämpft.
    du, der du um die ringe ringst, gibst ihnen die macht dich und andere gefangen zu halten.
    der logos aber, den in ihren ringen zu haben sie vorgeben, war nie in ihrer macht. wo immer sie ihn festnagelten ist er auferstanden und gen himmel gefahren. frei weht er über dieser erde und, wer seinen blick vom glanz der ringe lösen kann, der kann ihm begegnen. ja mehr noch, der kann ihn haben – nicht als besitz oder wissen oder waffe freilich, aber als bruder.
    wohl dem, der solchen bruder hat!

    gelebt und gestorben brüder

  9. Immanuel sagt:

    @Jörg

    Woher stammen die Axiome eines solchen Systems? Ich würde sagen: von außerhalb des Systems, von etwas (meinetwegen: einem Meta-System), das der ontologischen Ebene, der Wirklichkeit, näher ist als das System selbst. Damit wäre die Verbindung zur “Außenwelt” (ob schon die wirkliche oder noch eine virtuelle) schon in einem solchen System angelegt, oder?

    Axiome stammen meines Erachtens streng genommen nirgend woher. Ein System postuliert selber Axiome und definiert sich darüber. Deswegen ja auch Gödels Unvollständigkeitssatz. Jeder Versuch, die Axiome selbst als Ableitungen darzustellen, führt zu Widersprüchlichkeiten innerhalb des Systems.

    Was nötig ist, ist kein neues, formales, Meta-System sondern die Erdung der Prämissen in der Wirklichkeit.

    Ein formales Meta-System brauchen wir vielleicht nicht (ich meine, die überabzählbare Unendlichkeit stellt solch ein Meta-System dar, aber dort hört der Unterschied zwischen formal und nicht-formal auf), aber die Erdung der Prämissen in der Wirklichkeit kann jedenfalls nicht von innerhalb eines Systems geschehen.

    Dein Beispiel der fehlenden Widerspruchsfreiheit von natürlichen Sprachen beruht auf einer Verkürzung dessen, was natürliche Sprache ist und wie sie funktioniert.

    Du hast recht, die Kontextbezogenheit der menschlichen Sprache habe ich unterschlagen (damit werde ich mich in einem eigenen Beitrag beschäftigen). Aber das ändert nichts daran, dass Widerspruchsfreiheit im strengsten Sinne mit natürlicher Sprache nicht vereinbar ist: Die Kontextbezogenheit führt nämlich zum hermeneutischen Zirkel, dem Henne-Ei-Problem der menschlichen Sprache. In formalen Sprachen gibt es diesen Zirkel meines Wissens nicht (da diese nicht kontextbezogen sind).
    Deine Durchnummerierung des Schimmels wäre ein konstruktiver Ansatz, die Kontextbezogenheit aufzulösen und in widerspruchsfreie Aussagen zu übersetzen, aber das scheitert in der Praxis leider an den begrenzten Reflexionsmöglichkeiten des Reflektierenden.

  10. Immanuel sagt:

    @Jörg Friedrich:

    Logische Richtigkeit ist nicht Wahrheit, Widerspruchsfreiheit ist nicht nur logisch zu erfassen.

    Logische Richtigkeit ist nur relativ zu den angenommenen Axiomen, genau. Man kann zu jedem System ein entsprechendes Gegensystem konstruieren, das spiegelbildlich alle richtigen Aussagen in falsche verkehrt, und umgekehrt. Mit der Realität und der Wahrheit hat das an sich nichts zu tun.

    Ich würde aber sagen, dass ein in sich widersprüchliches System die Wahrheit in keinem Falle adäquat beschreiben kann, sofern diese widerspruchsfrei ist. Widerspruchsfreiheit ist also kein hinreichendes Kriterium für Systeme die die Wahrheit beschreiben, aber möglicherweise ein notwendiges Kriterium (im Fall einer widerspruchsfreien Wahrheit).

    Wie würdest du Widerspruchsfreiheit eigentlich nicht-logisch definieren bzw. erfassen?

    @Krabat:
    Ich bin mir über das Wesen der Ringe ehrlich gesagt noch nicht ganz klar. Sie tragen in sich meines Erachtens das Potential zum Guten wie auch zum Bösen. Wenn ich jemandem etwas entreißen muss, hat sich das böse Potential manifestiert, wenn ich über die Schönheit der Zahlen staune und träume, hat sich das gute Potential manifestiert. Ich kann also treue Gefährten brauchen, die mir helfen, dem bösen Potential nicht zu erliegen.

  11. Widerspruchs-frei ist eine Beschreibung, zu der es keinen Widerspruch gibt. Ich gestehe, mit diesem Satz mache ich einen kleinen Kunstgriff, weil ich das Wörtchen “zu” an eine Stelle setze an der man vielleicht ein “innerhalb” erwarten würde. Aber die Bedeutung eines Wortes, hier “Widerspruch” muss sich doch außerhalb des Systems finden lassen, in dem man es verwenden will.

    Was ist Widerspruch, wenn ich nicht an logische Systeme denke? Welche Bedeutung hat der Begriff?

    Das Buch, in dem Krabat mir zuerst begegnet ist, enthält viele Wahrheiten. Wo ich widerspreche, da sicher nicht aus logischen Gründen.

    Heidegger übrigens meint, Wahrheit sei “Unverstelltheit”, sei “Lichtung” der Phänomene. Das gefällt mir ganz gut.

  12. Immanuel sagt:

    @Jörg Friedrich: Für mich bedeutet auch emotionale Widerspruchsfreiheit sehr viel. Wenn ich sich widersprechende Gefühle habe, ist das auf Dauer sehr aufreibend.

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